SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 407 
quelconque, les équations (12) représentent une famille de 
courbes gauches dont la courbure et la torsion sont liées par la 
h k 
relation linéaire — | — =1, et dont les coordonnées courantes 
p r 
s'expriment sous forme finie explicite. 
Supposons, en second lieu, que p soit impair. La valeur de G 
s'obtiendra comme dans le premier cas. Mettons l'expression 
de H sous la forme 
/ 
(l-r«)(l+i?2-i>2r2) ïpvp-^ - ^^^^ ^1% ^^ vp-^(l-rl^)+ . . .1 
H= F , -dv. 
] (1— f2)(l + i;2 — i>2r2) 
Les exposants p — 1, p — 3, ... étant pairs, le numérateur 
est un polynôme de degré p -{- S qui ne contient v qu'à des 
puissances paires. Or, d'après la méthode connue de transfor- 
mation, la valeur de H peut être ramenée à s'exprimer par la 
somme de deux parties distinctes, savoir : 
1° Une fonction algébrique de r, qui sera le produit de 
y{i-v^){i+p^-pH^) 
par un polynôme entier de degré p ne contenant v qu'à .des 
puissances impaires ; 
2® Une fonction de la forme 
/; 
{a-\-^v*)dv 
y{i—v^){i+p^—pH^) 
où a et ^ sont des constantes. 
Cette dernière fonction est la somme de deux intégrales, 
dont l'une 
dv 
est une intégrale elliptique de première espèce, et dont l'autre 
r i'2 dv 
J y(l—v^){l-\-p^ — pH'^) 
/dv 
y{i-v')[i-^p' 
