SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 409 
Ce sont les équations de l'indicatrice, puisque x' , y', z' se trou- 
vent exprimés en fonction du paramètre variable ç. 
Or, si p est un nombre commensurable, cette indicatrice sera 
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alsébrique. En effet, soit i? zz — , m et w étant entiers, et fai- 
n 
r 
sons - = ç', d'où çzn/zç', pc,^7nK'-, il vient 
n 
œ'zzcos m^' sin >iç', ?/ =: sin ;>??' sin nç', z' z:z co^ n^' . 
Comme les sinus et cosinus de mç' et nç' peuvent s'exprimer 
par des polynômes entiers en sin ç' et cos ç*, on voit que x\ t/, 
z' se transformeront en fonctions entières de ces deux dernières 
lignes trigonemétriques. 
Cela fait, on changera de variable indépendante, en posant 
/ 
cosç' 
d'où 
1 + cos ç' 
2: 
cos ç' zz: — - — 1 , sin ç' zzi 
1 + -2 1 + 
Par la substitution de ces expressions de sin ç' et cos ç', af. y\ 
z' deviendront des fonctions rationnelles de t; par conséquent 
l'indicatrice sphérique est une courbe algébrique. C'est, en 
outre, une aspirale d'Archimède tracée sur la surface de la 
sphère : car, si l'on prend pour pôle le point où la partie positive 
de Taxe des z rencontre la sphère, et pour axe polaire le grand 
cercle déterminé par le plan des xz^ ç sera le rayon vecteur et 
ô l'angle polaire d'un point quelconque de l'indicatrice; son 
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équation en coordonnées polaires, qui est ç zi - , montre que Ç 
est proportionnel à ô, et dès lors cette courbe est bien la spirale 
mentionnée. 
Soit ds' l'élément d'arc de l'indicatrice. On a 
daf zz: cos cos çdç — sin sin ç 6f6, 
cly' = sin 6 cos çrfç + cos 6 sin çrfO, 
dz' = — sin çdç, 
