BULLETIN DES TRAVAUX DE l' ACADÉMIE. 527 
( l» Dans aucune ligne horizontale; 
< 2" Dans aucune des colonnes verticales ; 
« S*» Dans aucune des deux diagonales du carré. 
< Gela posé, après avoir démontré la constance des diago- 
nales complètes du carré naturel, j'ai d'abord fait voir com- 
ment on pouvait obtenir une solution (dans certains cas) en for- 
mant un carré magique dont les lignes et les colonnes seraient 
formées respectivement avec les nombres des deux systèmes 
de diagonales complètes du carré naturel. 
€ Cette première solution une fois obtenue (j'avais opéré sur 
les nombres 5 et 7), sa simple inspection m'a immédiatement 
suggéré une solution générale du problème des diaboliques tou- 
jours applicable quand n est premier. Cette solution se réduit 
à ce qui suit : 
< 1° Écrire d'abord dans la première ligne horizontale de n 
cases la suite : 0, 1. 2, 3 n — 1; puis successivement, en 
descendant, répéter la même suite en reculant vers la droite, à 
chaque opération, le de p rangs, p n'étant égal ni à 0, ni à 1, 
nia (n — 1); 
• 2"^ Alïecter les nombres ainsi placés successivement chacun 
d'un des indices : 0, 1, 2, 3 (n — 1), déduit d'une opération 
identique effectuée en reculant à chaque ligne horizontale le 
d'un nombre de cases q différent de p. 
« Ce mode de procéder donne d'une manière évidente un 
diabolique de n^ cases si n est un nombre premier. 
< En permutant entre eux les nombres de la première opéra- 
tion, puis les indices, et en donnant àp eikq toutes les valeurs 
dont ils peuvent être affectés sans devenir égaux, on obtient 
tous les diaboliques que peut fournir cette manière d'opérer. Il 
est aisé de voir, comme l'avait annoncé M. Lucas, que leur 
nombre est (1, 2, 3 nf {n — 3) (n — 4). 
— Appelé par l'ordre du travail, M. Legoux expose une 
méthode qui permet de ramener, très simplement, aux formes 
canoniques les équations du mouvement relatif des systèmes 
matériels. La question a été résolue par Bour, et Gilbert a 
donné de nombreuses applications de la méthode de Bour. 
L'auteur montre que, sans passer par les transformations com- 
pliquées des mémoires précédents, on peut écrire immédiate- 
ment la valeur de la force vive du système matériel considéré 
