SUR UNE CLASSE DE SURFACES REGLEES. 125 
de a, il est nécessaire d'établir la réciproque du théorème que 
nous venons de démontrer, laquelle est rendue très probable à 
cause des deux fonctions arbitraires (ç et t) dont dépend la 
construction. 
Soit donc, inversement, une surface réglée telle que 
Y=" 
h ' 
h Qic étant des constantes, a et V des fonctions de la variable v. 
On peut supposer c = 0, car cela revient à changer la trajec- 
toire orthogonale initiale. 
Considérons maintenant la courbe (O) définie par les équa- 
tions 
dviz. rfs, 
X 
ç 
La première, qui peut s'écrire 
ds := pdv, 
permettra de déterminer, à l'aide d'une quadrature, la nouvelle 
variable indépendante s en fonction de t% puisque le paramètre 
de distribution p est une fonction connue de v. Les autres équa- 
tions donneront ; et -: en fonction de s, et, par suite, correspon- 
dront à une courbe (0) qui sera déterminée de forme, à la sy- 
métrie près. 
La construction du n" 3 appliquée à la courbe (O) ainsi 
définie fournira une surface réglée telle que les valeurs de a. 
3, Y qui lui correspondent seront identiques, d'après la propo- 
sition directe, aux valeurs données. Cette nouvelle surface se 
confond donc avec la première (n" 1). 
On peut, dès lors, énoncer le théorème suivant : 
La surface réglée la plus générale pour laquelle V est une 
