126 MÉMOIRES. 
fonction linéaire de a est le lieu d'une droite parallèle à la 
bi-normale d'une courbe gauche arbitraire située dans le 
plan 7^ectifiant de la courbe et à une distance constante de 
cette bi-normale*. 
Nous désignerons, pour abréger, par la notation (Vi), les sur- 
faces réglées que l'on vient de définir. Leurs éléments a, p, V 
sont donnés, en fonction des éléments de la courbe gauche cor- 
respondante, par les formules (2), (3), (4), (5), auxquelles nous 
ajouterons la suivante, faisant connaître le carré de l'élément 
linéaire de la surface, savoir : 
(6) ds^-dl^ + [io^-iy-\-^^]'^. 
On la déduit des formules (1) relatives au déplacement du 
point M de la surface, en remarquant que 
c^s2=Âx^ + ÂY^ + Âz^ 
La comparaison de cette formule (6) avec celle de M. Dar- 
boux**, montre que la variable l n'est autre que u et que v est 
liée à s par la relation déjà trouvée 
dv =:dt- ds. 
X 
Avant d'examiner les cas particuliers qui se présentent assez 
naturellement, nous nous proposons de chercher les équations 
générales faisant connaître les lignes de courbure, les rayons 
de courbure principaux et les lignes asymptotiques des surfa- 
ces (V,). Les formules essentielles pour ces diverses recherches 
se trouvent dans l'ouvrage de M. Darboux"*. 
Mais il est tout aussi simple de les établir directement, ne 
* Voir à la fin la construction géométrique de la courbe (O) quand 
on connaît la surface réglée. 
** Loc. cit., p. 305. 
*•* Ihid., pp. 308 et 309. 
