SUR UNE CLASSE DE SURFACES RÉGLÉES. 127 
fût-ce que pour donner de nouveaux exemples des procédés de 
la périmorphie curviligne. 
9. La recherche des rayons de courbure principaux et des 
lignes de courbure, qui va d'abord nous occuper, repose sur la 
proposition suivante, d'ailleurs bien connue : 
Si l'on porte sur les normales d'une surface infiniment voi- 
sines de la normale en M. et, à partir de leurs pieds, un seg- 
ment de longueur constante MN, le déplacement de l'extrémité 
N est constamment perpendiculaire à la normale MN. Pour que 
ce déplacement ait une direction invariable, il faut et il suffit 
que le segment soit égal à l'un des rayons de courbure princi- 
paux en M, et, dans ce cas, la direction constante du déplace- 
ment est celle de la tangente en M à l'une des lignes de cour- 
bure, savoir celle qui correspond à l'autre rayon. 
Dans le cas d'une surface (Vi), le déplacement du point M 
est déterminé par les formules (1), qu'on peut écrire ainsi : 
/ AX = ds, 
(ly AY=^(a-0, 
et l'angle 6 que le plan tangent en M fait avec le plan des xz 
est déterminé par la formule (2), ou 
(2)' Tg ô = ^ . 
Sur la normale en M, prenons un segment MN de longueur 
constante a. Les coordonnées de l'extrémité N de ce segment 
seront : 
^znh — X sin 0, 
Tfj z^ X cos ô, 
et, par suite, les projections de ce déplacement auront pour 
valeurs : 
