SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 183 
Nous nous proposons d'étudier ici les lois de la forme (1) du 
deuxième ordre susceptibles de donner une infinité de sj'stèmes 
de solutions d'une même équation indéterminée ; nous énonce- 
rons cependant quelques résultats un peu plus généraux. 
PREMIERE PARTIE. 
PRÉLIMINAIRES. 
§ 1. — Des systèmes de suites récu7n^entes formées de nombres 
entiers ou rationnels. 
Théorème I. — Si tous les termes d'une suite récurrente 
sont rationnels, la loi irréductible à laquelle satisfgiit la suite a 
ses coefficients rationnels. Il pourra en être autrement si l'on 
considère une loi non irréductible. 
Soient 
(3) a?o, d7„ 572, ••• Xn., ... 
une suite récurrente, 
(4) Xn+p = a^Xn+p-l -h ... -h OpXn 
la loi irréductible à laquelle elle satisfait, d'ordre p. On aura le 
système 
SX„+p ZZ a,ir„+j>_i -f ... + OLpO^n 
Xn+p+l = diXn+p 4- ... + (XpXn+l 
\ Xn+2p-l =: CtiXn+7p—2 + .-. + 3.pXn+p—l 
et l'on sait * que le déterminant 
Voir Perrin , Comptes rendus (10 décembre 1894), une communi- 
cation faite par nous à l'Académie des sciences de Toulouse le 20 dé- 
cembre 1894 et une note parue dans les Nouvelles Annales, 1895. 
