SUR LES ÉQUATIONS INDÉTER^nNÉES. 185 
1° Si ri, ^2, ... Vp—i, 5, ont un diviseur commun /"> 1, /> 6st 
premier à f. puisque, par hypothèse, r„ r2, ..., r, et s, n'ont 
aucun diviseur commun. Mais, d'après (6), rpXn est divisible 
par /", et, dès lors, Xn est divisible par /", quel que soit n. 
Posant Xn = /itr'», les afn sont entiers et satisfont encore à la 
loi 
^n+p ^ ^H-\-p — 1 -p ... -| OC n 3 
S, S| 
œ'n est encore divisible par f. et l'on peut poser afn = ra;*» , 
les afn étant entiers, etc. 
On voit finalement que ir„ serait, quel que soit n. divisible 
par une puissance de f aussi grande qu'on veut, résultat ab- 
surde si l'on suppose que la suite proposée a au moins quelques 
termes finis. 
C. Q. F. D. 
2^ Soit t la seule des quantités r,, 7\, .,., rj,_i, s, qui ne soit 
pas divisible par /">• 1. Désignons par Xn+i le terme de la suite 
qui dans (6) a pour coefficient ^, quand on y a chassé le déno- 
minateur s,, en sorte que pour ^ rrs, on a i znp. On voit immé- 
diatement que Xn+i est divisible par f(n>0) quel que soit n; 
donc Xn+i = fx'n, les x'n étant entiers. 
Les x'n satisfont à la loi 
X'n+p =Z -i X'n+p-l -f- -r X'n+p-l -\- ... -\- — Ofn 
Si Si St 
en sorte que x'n+i = fx"n {n > 0) quel que soit n, les af„ étant 
entiers, etc. On aura donc 
/ Xn+i — fx'n 
\ X'n-^ti—fxTn 
les 07», xfn., ..., Xn , ... étant entiers, ce qui donne 
