186 MÉMOIRES. 
i-l (i-l) * (k) 
Wn+ki =: fœ'n+(k-l)i — Paf'n+{k-2)i ~ ...ZZif Xn+i ^Zl f Xn . 
Si l'on suppose n choisi arbitrairement, on voit qu'on pourra 
choisir ^ ou n + ^ï* assez grand pour que Xn-\-u^ qui est divisi- 
ble par /"*, soit divisible par une puissance de f aussi grande 
qu'on le veut. 
G. Q. F. D. 
Théorème III. — Étant donnée une loi de récurrence, la suite 
fondamentale* est formée de nombres entiers quand la loi a ses 
coefficients entiers et réciproquement. 
Il suffit presque d'énoncer le théorème : 
Soit 
une loi, et 
XqZhO., iTj =: 0, ..., ^j,_2 = 0, ^^-1 n: 1, Xp., ... 
la suite fondamentale correspondante ; on a 
XpZZ. ai 
et ces égalités montrent la propriété en question. 
Théorème IV. — Étant donnée' une loi de récurrence, d'or- 
dre p, une suite formée de nombres entiers qui y satisfait, et 
est distincte de la suite fondamentale, si la suite fondamentale 
a ses termes entiers, ou, ce qui revient au même, si la loi a 
ses coefficients entiers, l'expression linéaire des termes de la 
suite proposée en fonction de p termes consécutifs de la suite 
fondamentale a ses coefficients entiers. 
* D'Ocagne, Journal de l'École polytechnique, 1894. 
