SUR LES ÉQUATIONS INDETERMINEES. 187 
Conservant les notations du théorème précédent, soit 
-^01 ^f> -^21 
la suite proposée formée de nombres entiers. 
On sait* que l'on a une relation de la forme 
X«+* nr |ji,ir« -}- jxaj;,-! + ... + \i.pœn-p+i 
où {JL,, |X2, ..., [Xp sont des constantes indépendantes de «, et où 
k est arbitraire. 
On a alors 
Xp+t = '^iOCp + |X2 
ce qui montre le théorème. On voit même que réciproquement, 
si [x,, [Aa, ..., jxp sont entiers ainsi que a,, ..., ap, la suite X<„ X, ... 
est formée de nombres entiers, au moins à partir du terme 
Xp_i-|-fc . 
Théorème V. — Étant donnée une suite récurrente formée 
de nombres entiers, si elle satisfait à une loi à coefficients 
entiers, la loi irréductible à laquelle elle satisfait a elle-même 
ses coefficients entiers. 
Il suffit, en effet, d'observer que le polynôme générateur 
irréductible de la suite aura ses coefficients rationnels, d'après 
le théorème 1, qu'il divisera " le polynôme générateur à coeffi- 
cients entiers considéré, et que par suite, d'après un théorème 
de Gauss*", il aura ses coefficients entiers. 
Nous n'avons considéré jusqu'ici qu'une suite récurrente; 
* D'Ocagne, Journal de V École polytechnique, 1894. 
Voir la note précitée des Nouvelles Annales. 
'" Bachmann, Die Lehre von der Kreislheilung, Leipzig, 1872, 
p. 21. On donne facilement au théorème de Gauss l'extension qui est 
ici nécessaire. Voir aussi Gauss, Disq. arith., n» 42. 
