SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 189 
On voit même : l*' que si les lois irréductibles des deux suites 
ont leurs coefficients entiers, il en est de même de la plus petite 
loi commune ; 2° que si la plus petite loi commune a ses coeffi- 
cients entiers, il en est de même des lois irréductibles de cha- 
que suite, d'après le théorème I et le théorème de Gauss précité. 
Corollaire. — Si une équation indét^minée F(â?, y) i= a 
une infinité de systèmes de solutions en nombres entiers ou 
rationnels Xn^ yn qui se déduisent d'un nombre fini d'entre eux 
par des relations de récurrence de la forme (8), on peut toujours 
trouver une relation commune aux Xn et aux tfn à coefficients 
rationnels telle que les systèmes de solutions se déduisent d'un 
nombre fini d'entre eux. 
Théorème VIII. — Soit un système de deux suites récur- 
rentes formées de nombres entiers 
*^0l '^l' '^i 
(9) 
(I/o. i/i. y^ 
satisfaisant à la plus petite loi commune 
(10) Xn+p = — Xn+p-l -f — X„+p-7 -\- ... -\- —Xn 
S| Si Si 
(r,, r-j, ..., Tp—i, s, entiers n'ayant aucun diviseur commun). 
1° ^*i, ?'2-, ..., ^p— 1, s, ne peuvent avoir de diviseur commun; 
2® rpetp — 1 des quantités r„ rj, ..., r^—i, s, ne peuvent avoir 
de diviseur commun /"]>1 que si l'on peut prendre n assez 
grand pour que Xn et pn soient divisibles par /"* , v étant aussi 
grand qu'on veut. 
La démonstration est identique à celle du théorème II; il 
importe seulement de remarquer que (10) comprend la forme la 
plus générale des plus petites lois communes à deux suites 
récurrentes formées de nombres entiers. 
Corollaire. — Si une équation indéterminée F{x.,y)z=:0 a 
