SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 191 
Nous nommerons ici fonction irréductible une fonction en- 
tière qui n'est divisible par aucune autre fonction entière qui 
n'en diffère pas par un facteur constant ou ne se réduit pas à 
une constante. 
Soient alors 
(13) F =z * = 
les deux équations considérées, x et y les variables. 
Ces deux équations ayant une infinité de systèmes de solu- 
tions communs, ces systèmes comprendront forcément une 
infinité de valeurs soit de .r, soit de y; supposons que ce soit 
de y. 
Cherchons le plus grand commun diviseur de F et O consi- 
dérées comme fonction de œ. Si le degré de F en a* est au moins 
égal à celui de <ï>, on aura : 
a> =z R,^3 4- R, 
a4) ; 
Rm— 1 H: Rm^m+l -\- Rm+l 
Si l'un des restes Rm+ 1 était nul identiquement, on voit que 
Rm diviserait Rm— i, ..., Rj, Ri, 4> et F. Ces deux dernières 
fonctions étant irréductibles, Rm ne différerait de O et de F 
que par un facteur constant, et il en serait de même de ^ et F. 
(Le cas où Rm iz: constante + étant traité ci-après.) 
Si aucun des restes R,, R,, ..., Rm+i, ... n'est nul identique- 
ment, on finira par trouver un reste indépendant de ir, Rm+ 1 
par exemple. Or tout système de solutions commun à F = 
et = annule R,, Rj, ..., Rm+i. On en conclut, d'après ce 
qu'on a vu, que Rm+i s'annulerait pour une infinité de valeurs 
de y. Mais Rm+i est une fonction rationnelle de ?/, qui, comme 
on le voit dès lors facilement, ne peut s'annuler que pour un 
nombre fini de valeurs de y, à moins d'être identiquement 
nulle, contrairement à ce qu'on suppose ici. 
