SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 193 
(17) icp — ir> — fix, y) X U{x, y), 
f et /", étant des fonctions entières. 
Supposons, par exemple, p'>q. 
L'équation a^ — 1/^ = admettant une infinité de systèmes 
de solutions de la forme 
(18) xzncfl 1/ =z ap (a quelconque), 
l'une des deux équations 
nx, y) - 0, Uix, y) = 
en admettra aussi une infinité : supposons que ce soit la pre- 
mière. 
/"(j?, y) est en x de degré <; p ; car si l'on ordonne f et fx 
suivant les puissances décroissantes de x^ le produit des termes 
des degrés les plus élevés en x doit donner xf\ fne peut donc 
être de degré p en x que si /*, ne dépend pas de x. Mais alors le 
coefficient de xp dans le produit fxfi serait le produit de 
deux polynômes entiers en y dont l'un est ft et doit se réduire 
à l'unité d'après (17), en sorte que /", se réduirait à une cons- 
tante contrairement à l'hypothèse. 
On verrait de même que f est en y de degré •< g. 
Par suite, on aura 
(19) f{x, y) — 2Ar,ary 
avec r<,p, s<.q et l'on aura, pour une infinité de valeurs de 
a, d'après (19), 
^{a) =: 2A« a«H-j>* — 0, 
6(a) étant un polynôme entier en a. 
6(«) doit donc être, après réduction, identiquement nul ; l'un 
des coefficients An au moins étant + 0, ^{a) devra renfermer 
un autre terme au moins Ar'/rt''^+^'' qui se réduise avec le 
terme Aria''"+^*, c'est-à-dire tel que 
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