194 MÉMOIRES. 
qr -\- ps ziz qr' + ps' 
ou 
q{r — r') + p{s — s') n: 0. 
p et q étant premiers entre eux, ceci entraînera 
r — r' =0 (moàp) s — s' = (mod q) 
sans qu'on ait à la fois r' in r s rz s' . 
Mais, r et r' étant <.P-> on en tire r :=.r' . De plus s et s' 
étant <; q^ on en tire s rx s', contrairement à ce qui a lieu. 
L'hypothèse que a^ — yi soit réductible quand ^ et ^ sont 
premiers entre eux conduit donc à un résultat contradictoire. 
Corollaire. — xvyi — 1 est ou non irréductible suivant que 
i? et g sont ou non premiers entre eux. 
1 
Il suffira de poser y zz -., et de remarquer que si 
(20) œPiji — 1 — F{œ, y) x Fi{œ, y) 
on a 
(21) 
œp — z^^nz^F (œ, - j x fY^?, - ) 
a somme des degrés en y de F et F^ étant précisément égale 
à g, en sorte que le second membre de (21) serait un produit de 
deux polynômes entiers en z. 
Réciproquement , si œp — z^ est réductible , on voit que 
œpy^ — 1 l'est de la même manière. On peut donc dire que ces 
deux binômes sont en même réductibles ou non. 
C. Q. F. D. 
Théorème III. — L'équation a; =: 2/f (p > 0) ne peut avoir 
une infinité de systèmes de solutions réelles communs avec 
une équation algébrique entière F(â7, y) zz que si p est ra- 
tionnel. 
