198- MÉMOIRES. 
OÙ l'on a chassé les puissances de z qui sont en dénominateur, 
car dans aucun système de solutions commun on n'a s: iz: 
{pc étant fini). 
Corollaire II. — Si l'équation ^r rz ± ?/? où p est >> (ou 
ccy'i zz dr 1) a une infinité de systèmes de solutions réelles 
communs avec une équation algébrique entière irréductible 
F(.^, î/) =r 0, on a p =1 - rationnel et F(^, y) ne diffère que 
par un facteur constant de œ^ — yi {p et q entiers premiers 
entre eux) ou de ( — Ifœp — y^ (ou de a^pyi — 1 et xpyi — ( — ly 
respectivement). 
Considérons d'abord la forme œzziy?. D'après ce qui précède, 
p est rationnel ; donc p :z= - . L'équation xzzzy^ a, une infinité 
de solutions réelles communes à la fois avec wp zz y^ et 
F{x, î/) = 0, p et q étant premiers entre eux. Donc, d'après les 
théorèmes I et II, F{œ, y) ne diffère de œp — y^ que par un fac- 
teur constant; 
Quant à la forme œzn — y?, il suffit, en posant œzr: — œ\ de 
raisonner de même sur a;' zn y? et F(— â?', ?/) = : F( — œ\ y) 
ne différera que par un facteur constant de œ'p — ?/?, c'est-à-dire 
que F{x^ y) ne différera que par un facteur constant de 
(— lyxp — y^ . 
Le raisonnement est analogue pour œy^ = =h 1. 
Remarque. — Nous remarquerons d'ailleurs que ce corol- 
laire II est applicable que l'on attache au mot irréductible l'un 
ou l'autre des deux sens indiqués au théorème I, puisque 
osP — î/î, ayant ses coefficients rationnels et étant irréductible 
au premier sens, l'est a fortioiH au second. 
