200 MEMOIRES. 
ayant une infinité de systèmes de solutions donnés par la for- 
mule 
j Xn == <3.Xn-\ + '^Xn-'l 
\ Xjn = al/n-1 + Pl/n-2 . 
(1) 
Nous supposerons que cette loi soit la plus petite loi com- 
mune aux Xn^ xjn^ sans quoi on retomberait sur le cas qui vient 
d'être examiné. 
Nous supposons de plus ici que l'équation génératrice 
(2) V' = a?, -f (3 
a ses deux racines X, ]i, distinctes. 
On sait, d'après Lagrange, que l'on aura 
,^ ( Xn =: a\^ + &ix« 
\ Vn — cV' -\- rfi/.", 
a^ b^ c^ d étant convenablement choisis, mais indépendants 
de n. D'après le théorème VU du § 1, l""® partie, a et ^ sont 
rationnels. 
Si l'on a arf — &c n 0, on en tirera, d'après (3), en supposant 
par exemple <i + 0, 
o^Vn — cxn =:: 0. 
Xn et i/n étant entiers, — est rationnel, et l'on en conclut 
comme précédemment que ¥{x^ y) ne diffère de y x que 
par un facteur constant. 
Si l'on a ad — &c + 0, on aura, d'après (3), 
(4) 
Ces formules sont la base de toute la discussion. Nous dis- 
dXn- 
^ M 
-byn 
ad 
-bc ' 
-CXn 
i^ — «w 
h^ ' 
à 
