SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 201 
tinguerons le cas où les racines X, [l sont imaginaires, et le cas 
6ù elles sont réelles. 
l»' Cas. — X et n sont imaginaires (évidemment conjuguées). 
On aura 
(5) X =r Se^ |j. = Se-^ 
û étant le module commun : l'^ =: Xjx ^ — p. 
Si S=il, ^= — 1 et 
, ^ ^ _ . _ (dœn — byn)(ayn — cœn) 
^^ -^- - (ad-bc)^ 
Xn et î/„ satisfont à une équation de la forme 
(6) <p(a;, y) — kx^ + Rri/ + Cr/^ = K 
avec K =^ 0. 
En considérant trois systèmes de solutions : 
on voit facilement que A, B, G sont des formes 
A zz KA', B — KB', G = KG', 
où A', B', G' sont rationnels; (6) équivaut donc à l'équation à 
coefficients rationnels 
(7) k'x* + Wxy + G'y2 - 1 =: 0, 
dont le premier membre ne diffère * dès lors de F(i«7, y) que par 
un facteur constant (l" partie, | 2, remarque du théorème I). 
Supposons maintenant B + 1. 
S'il ne se décompose pas en deux facteurs linéaires, ce qui don- 
nerait encore F linéaire. 
