202 MÉMOIRES. 
Si l'on désigne par F, (X, Y) le résultat obtenu en opérant 
dans F(^, y) les substitutions 
on aura 
(9) F.(X, Y) z= 2(AoX-+ A.X'^-iY + ... + A^^Y"»), 
m 
m étant au plus égal au degré de F(â?, y). 
Si alors on opère dans F(a7, y):=:0 les substitutions ('3), le 
résultat sera 
(10) F,(X", [x'*) = SS'"«(Aoe'»'"^* + Aie"('»-2M+... + Ame-'*'»^) = 
m 
en tenant compte de (5), et cette égalité (10) devra, par hypo- 
thèse, avoir lieu pour une infinité de valeurs de n > 0. 
Supposons*, par exemple, S^l, et soit m, le degré de F{œ^y). 
Si l'on prend n^n'. n' étant assez grand, le coefficient de 
(S»)"»! dans (10) doit être aussi petit qu'on veut, c'est-à-dire que 
si l'on pose ^ = e"^* C devra être pour n'^n' aussi voisin que 
l'on veut d'une racine de 
(11) AoC"* + AjÇ'^-^ + ... -f A^ç-»» = 0. 
Si - est incommensurable, on sait que, pour n>»n', n' étant 
X 
fini, nx prend une infinité de valeurs distinctes à un multiple 
de % près, et si nxzzih'K -\- l avec Q <il<^%^ on pourra tou- 
jours trouver n tel que l diffère aussi peu qu'on veut d'une 
quantité arbitrairement choisie entre et tu. Il y aura donc 
toujours des valeurs de ç qui différeront des racines de (11) 
d'une quantité finie, et l'on devrait avoir identiquement 
F,(X,Y)=:0, 
* On peut même montrer que d'après les hypothèses on n'a pas 
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