206 MÉMOIRES. 
X — [A étant 4= par hypothèse, si cpi (a, P) + 0, 1 — ij. sera 
rationnel, et comme il en est de même de X-\- y.=: a, X et [a 
seront rationnels, par suite a, b^ c^ d; sinon cp,(a, ^) rr don- 
nera, puisque p =¥g^ ( — P)^ =i: ( — P)*, c'est-à-dire, jp et ^ étant 
premiers entre eux, fi in =h 1. 
Dans ce dernier cas, en formant Xy/^ à l'aide de (4), on verra 
encore que F{œ, y) se réduit à une équation de la forme (7) où 
le terme indépendant de â? et y est ±1, ou à un facteur linéaire. 
Nous reviendrons tout à l'heure sur ce sujet. 
Supposons pour le moment X et \j. rationnels, par suite a, &, 
c. d. On aura ^ >» ou p<,0. 
1° i? >■ 0. — D'après (18), on aura, si, par exemple, p >» 5, 
^=(7)' ^=(7)' 
ce qui donne, r et 5 étant entiers premiers entre eux. 
(■ 
X+ix = 
fPgq _j_ '^--qgp r^s^(rP~^ -\- SP~^) 
(21) 
( p---kix = - 
rP+9 
SP+i ' 
en sorte que (1) donnera, par exemple, 
T^s^irP"^ -\- sP~~9) f^p+9 
(22) ^» = —^ ■ ^«-1 - J^ç ^«-'^ • 
Ici, si l'on se reporte au théorème VIII du 1 1 de la 1" partie, 
on voit que les quantités que nous y avons désignées par ri et 
s, auraient un diviseur commun, ce qui est impossible d'après 
ce théorème VIII. Il faut donc 
s=:l 
(23) X = rP, \i. — ri. 
Posant alors 
