208 MÉMOIRES. 
r26^ S ^ + w = (mod v) , t' -\- u' = (mod v') , 
f ri»-? — 1 = (mod v) et (mod i?') 
(Si, en effet, v^ par exemple, n'était pas premier à 7% il divi- 
serait 9-^ (rP—9 — 1), et il suffirait de remplacer «, &, c, d par 
aX*, &[ji.*, cX*, rf[;.*, c'est-à-dire ^^ par a?* et î/q par i/*.) 
Réciproquement, si les coefficients de (24) satisfont aux rela- 
tions (25) et (26), l'équation (24) admet une infinité de solutions 
en nombres entiers donnés par la loi 
,^^. S ^" -~ (^^ "^ ^^ ^"-^ ~ ^^"^"^ ^"~2 — ^'"^'^ + ^^" ' 
( î/n n: (ri» -|- ^'î) Vn-i — rp+i yn-i =: crP"^ -j- rfr«« , 
ainsi qu'on le vérifie facilement. 
Quand on a ^ < 0, soit p:=i—p'. On aura la loi 
Xn "^^ -1—- O0n—\ -; — ^n— 2 . 
rP s^ rP s 
9 
D'après le corollaire du théorème VIII, 1" partie, § 1, ou 
bien rp's^ zz 1, d'où r = 1, s ni 1, ou bien les Xn, ijn ne pour- 
ront satisfaire qu'à des équations dont le terme indépendant 
de œ ety sera nul. Or, les Wn^ yn satisferaient dans ce dernier 
cas à X = Y p , c'est-à-dire à 
où X et Y sont donnés par (8) : ce dernier cas est donc impos- 
sible, et il faut 
r=:l, srrl, Xzzi, [/.:=1, 
contrairement à l'hypothèse. 
L'hypothèse pK.0 n'est donc pas ici admissible. 
Il ne nous resterait plus à examiner que le cas où ^:=.zt. 1 
et où F{œ, y) est de la forme. 
(28) kx^ + Bœy + Cy^dbU — O, avec H + 
