SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 209 
(A, B, C, H entiers). C'est un «as bien connu : nous nous con- 
tenterons d'observer ici que a doit être entier, car a est ration- 
nel, et si l'on avait a:=: — :zr fraction irréductible, la loi (1) 
Si 
deviendrait 
7' S 
œn=— J"«-l T — Xn-i . 
S, S, 
D'après le corollaire du théorème YIII, V^ partie, 1 1, on a 
Sizzrl, puisque H + 0. 
Pour la solution, nous renverrons, par exemple, aux œuvres 
de Lagrange et de Gauss. 
I 3, — Des équations indétenninées à deux variables ayant 
une infinité de systèmes de solutions en nombt^es entiers 
donnés par une formule de récurrence du second ordre 
dont r équation génératiHce a ses racines égales. 
La formule (1) du | 2 subsistant et donnant encore la plus 
petite loi commune aux a*,, y», l'équation (2) a ses deux racines 
égales et devient 
(29) ^ — 2X; + A» = 0. 
~ Jr 
(3) est alors remplacé par 
œm = X" (a -f &w) , 
(30) 
^ ' ' î/«=X«(c-f rfn), 
toujours d'après Lagrange : X, a, &, c, d sont rationnels. 
Si ad — &c zz , Xn et y, sont encore liés par une relation 
linéaire à coefficients rationnels, et, par suite, F(a*, y) est 
linéaire. 
Soit donc ad — bc ^ 0. 
On peut encore supposer X >• 0. 
Soit alors X :|: 1 . 
Les formules (4) du | 2 sont remplacées par 
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