212 MEMOIRES. 
F, (À", nX») l'ensemble des termes analogues à (34) pour lesquels 
r-\- s a la plus petite valeur possible. 
On conclut donc qu'il faut ici 
X = 1. 
On a d'ailleurs d ou b différent de zéro, puisque la loi (1; est 
la plus petite loi commune aux Xn^ Vn. 
(31) donne 
dXn — byn zn ad — hc, 
et, puisque F(j7, y) est irréductible, F{œ, y) ne diffère que par 
un facteur constant de 
dœ — by — (ad — bc) . 
En résumé , les équations indéterminées à deux variables 
F{œ^y)zizO qui ont une infinité de systèmes de solutions en 
nombres entiers donnés par une formule de récurrence du pre- 
mier ou du second ordre sont des formes : 
Pour le premier ordre, 
kœ-\-By — 0; 
Pour le deuxième ordre, 
A^ + ByrrO, 
AiT -f Bt/ + G = 0, 
A^2+ Bœy + Gy''±H — 0, 
et enfin 
{tv'y — t'vœy — (vu'œ — uv'xY {tu' — ut')p—^ zz , 
où io et g sont premiers entre eux. 
(F(a7, y) étant supposé n'avoir aucun diviseur rationnel.) * 
* Les mêmes raisonnements sont presque identiquement applica- 
bles quand on veut considérer les solutions en nombres rationnels. 
On en conclut que les seules équations homogônes à trois variables 
