THEORIE DES LIGNES TRACEES SUR UNE SURFACE. 
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du troisième ordre et à celle, qui lui est connexe, des courbes 
que nous désignons sous le nom de courbes iD) et dont la 
sphère osculatrice est tangente à la surface. 
Les cercles qui ont avec une surface (8), en un point donné 
M, un contact du troisième ordre forment, ainsi que l'a montré 
M. Darboux dans un beau mémoire*, une surface (II) du 
dixième degré admettant une ligne double du sixième ordre 
qui jouit d'une propriété remarquable: nous montrons que la 
surface (X) se décompose, quel que soit le point M choisi sur 
(S), si les lignes de eourbure de cette dernière sont, au moins 
pour une famille, circulaires. Le cas de la cyclide de Dupin et 
des surfaces dans lesquelles elle peut dégénérer est digne d'in- 
térêt ; la surface (I.) relative à un point M de (S) se décompose 
alors en deux sphères et en une surface du sixième degré qui 
est rinverse d'une surface réglée du troisième degré. Cette sur- 
face du sixième degré admet ainsi pour ligne double un cercle; 
lorsque le point M décrit la cyclide de Dupin (S), ce cercle en- 
gendre un système cyclique et son axe détermine une con- 
gruence linéaire. Ainsi s'établit un lien entre la cyclide de 
Dupin et la déformation infiniment petite du paraboloïde équi- 
latère. 
Les courbes ( D ) ont été considérées pour la première fois par 
M. Darboux" qui, après avoir établi ce fait curieux que leur 
équation différentielle est du second ordre seulement, a intégré 
cette équation dans le cas des quadriques et dans celui des 
cyclides; M. Enneper**' a ensuite indiqué une propriété géomé- 
trique des courbes (D) tracées sur une quadrique qui, généra- 
lisée au moyen de la fonction N, donne une propriété des cour- 
(t. Darboux, Sur le contact des courbes et des surfaces [Bulletin 
des sciences mathématiques et astronomiques, 2« série, t. IV, p. 348; 
1880). 
** G. Darboux, Des courbes tracées sur une surface et dont la 
sphère osculatrice est tangente en chaque point à In surface 
[Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. LXXIII, p. 732; 
1871). 
'** A. ^nnQ^QY, Bemerkungen iiberdie Differentialgleichung einer 
Xrt ton Cui^en auf Flaechen [Goeltinger Nachrichten,i&7i. pp. 577- 
583). 
