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bes (D) tout à, fait analogue à celle indiquée) par Laguerre poul- 
ies lignes géodésiques et pour les lignes de courbure d'une sur- 
face quelconque; enfin, Ribaucour a rattaché* la détermina- 
tion des courbes (D) sur les cyclides à sa théorie des surfaces 
pour lesquelles ces courbes peuvent être accouplées et a mon- 
tré " que si Ton trace sur une surface (S) une courbe (Dj cha- 
cun des plans osculateurs de cette courbe coupe (S) suivant 
une section surosculée par un cercle. 
Nous avons cherché à étendre le nombre des surfaces sur 
lesquelles on peut déterminer les courbes (D) en nous inspi- 
rant des recherches faites sur les ds^ pour lesquels on déter- 
mine les géodésiques ; nous exposons ici, pour les courbes (D), 
le commencement d'une théorie d'intégrales de forme déter- 
minée qui présente une certaine analogie avec celle qui est 
relative aux lignes géodésiques ; nous déterminons toutes les 
surfaces pour lesquelles existe ce que nous appelons une inté- 
grale homogène entière du premier degré : ce sont les surfaces 
dont toutes les lignes de courbure sont des cercles géodési- 
ques: la cyclide de Dupin et les surfaces telles que le tore dans 
lesquelles elle peut dégénérer apparaissent ici comme les sur- 
faces pour lesquelles il existe une infinité de pareilles inté- 
grales. Ce qui précède entraîne facilement la détermination 
des courbes (D) sur toutes les surfaces ainsi mises en évidence. 
Les surfaces considérées par Ribaucour et pour lesquelles les 
courbes (D) sont accouplées se présentent presque immédiate- 
ment comme des surfaces pour lesquelles existe une intégrale 
homogène entière quijest au plus du second degré; il nous 
semble digne de remarque que toutes les surfaces pour lesquel- 
les existe, soit une intégrale du premier degré, soit une inté- 
grale du second degré, sont aussi des surfaces pour lesquelles 
les courbes (D) sont accouplées. Les recherches de Ribaucour 
ont ici cette application d'établir ce fait que les quadriques et 
les cyclides admettent une intégrale du second degré comme 
A. Ribaucour, Notice sur ses travaux mathématiques, p. '1*6: 
1873. 
** A. Ribaucour, Propriétés de courbes tracées sur les surfaces 
{Cornples rendus de l'Académie des sciences, t. IjXXX, p. Qfd: 1875). 
