THÉORIE DI£8 LIGNES TRACEES SUR UNE SURJACE. 3t)9 
conséquence immédiate des propositions connues sur la géné- 
ration de ces surfaces au moyen de cercles. On doit aussi 
remarquer que la théorie des courbes (D) sur une surface rap- 
portée à ses lignes de courbure se ramène à l'étude simultanée 
de deux fonctions dont l'introduction dans les équations de 
Godazzi conserve à ces dernières leur forme simple. Nous 
reviendrons sur ces fonctions ainsi que sur les considérations 
géométriques qui se rattachent aux développements précédents. 
Nous supposerons, pour simplifier notre exposition, que le 
lecteur a sous les yeux les formules du livre V des Leçons de 
M. Darboux, et nous ne reviendrons pas sur la signification 
des notations adoptées par Téminent géomètre. 
I. - Fonction N et rëseatiœ triangulaires de Laguerre. 
2. Concevons qu'en chaque point d'une courbe tracée sur 
une surface on porte sur la normale à la surface, à partir de ce 
point, une longueur N, fonction de la position du point sur la 
courbe. Soient A et A' deux points infiniment voisins de cette 
courbe, T et ï' les angles que font avec la corde A A' les seg- 
ments N et N' portés sur les normales en A et en A' : posons 
I sin i.i cItS cos <•> p sin vi I 
' ^ \ '2p ds ij ds 3-:p / 
</N eus !•» 
ds '2? 
Laguerre a donné la formule suivante : 
AA\N cos ï -j- N' cos T'i = kds^ + 1 ^^ ds* -f ... 
dont on trouvera une démonstration dans V Exposition analy- 
tique de la théorie des surfaces de M. lîrisse. 
Laguerre en a déduit un certain nombre de conséquences que 
nous allons rappeler. 
Il en résulte tout d'abord que la somme algébrique des pro- 
jections sur la corde des deux segments X et X' est générale- 
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