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les asymptotiques {v) étant des géodésiques sont rectilignes. 
Donc : 
PoifT qu'une surface supposée non développàble soit réglée, 
il faut et il suffît que les deux polynômes précédents F et f 
aient un facteur cmnmun ; ce facteur égalé à zéro donne les 
génératrices rectilignes de la surface. 
On en déduit comme conséquence le théorème suivant de 
Laguerre : 
Pour qu'une surface supposée non développàble soit du 
second degré, il faut et il suffit que le polynôme F soit divisi- 
ble par f. 
On peut, dans ce dernier cas, ajouter que le quotient est 
alors une différentielle exacte ; les quadriques constituent donc 
la solution du problème que nous nous étions d'abord posé. 
Laguerre a montré que la fonction qui admet pour différentielle 
logarithmique le quotient de F par f est représentée géométri- 
quement par la longueur de la normale à la quadrique comprise 
entre cette quadrique et l'un de ses plans principaux, et il en a 
conclu, eu égard à la fin du n" 1, les deux théorèmes connus : 
Le long d'une même ligne géodésique tracée sur une qua- 
drique, le rayon de courbwe de la courbe est proportionnel 
au cube de la normale (.Toachimsthal). 
Le long d'une même ligne de courbure d'une quadrique, le 
rayon de courbure de la section noi^iale tangente à la courbe 
rnrie proportionnellement au cube de la normale iDupin). 
5. Les lignes de la surface pour lesquelles la valeur de X 
s'obtient en prenant le long de ces lignes la valeur d'une fonc- 
tion donnée =.(^<, n forment un réseau que Laguerre appelle 
triangulaire; par chaque point de la surface passent, en effet, 
trois des courbes qui le composent. 
Les réseaux triangulaires les plus intéressants sont ceux pour 
lesquels la fonction ç est une constante; ils sont formés des 
courbes (G) tracées sur la surface et pour lesquelles la section 
noi^male de la surface tangente à la courbe en un quelconque 
de ses points est suy^osculée par un cercle. 
Dans le cas 'des quadriques, la recherche des courbes (G) se 
