370 MÉMOIRES. 
COS Xô 
Idp ?>. / p _ Kp 
p ds 2 ?o) COS ï.> 
Si la section plane est surosculée par un cercle en un point, 
de 
on aura, en ce point, -^ n: 0, et l'on retrouve la relation (5). 
Supposons maintenant que l'on veuille déterminer une courbe 
menée par un point de la surface et telle que la sphère oscula- 
trice soit tangente à la surface en ce point, on doit écrire : 
p sin <.) 4- T -r- COS (T) ru 0. 
ds 
dû 
puisque œ^ et y^ doivent être nuls. En remplaçant t, -^ par 
leurs valeurs, un premier fait remarquable se présente : -— 
n'appm^ait pas dans la relation finale: de plus, cette dernière 
n'est autre que (5). 
Si nous désignons sous le nom de courbes (D) celles pour 
lesquelles la sphère osculatrice est constamment tangente à la 
surface au point de contact avec la courbe, nous retrouvons 
donc la curieuse proposition de M, Darboux consistant en ce 
que l'équation différentielle des courbes (D) tracées sur une 
surface quelconque est du second ordre; nous pouvons, de 
plus, énoncer le théorème suivant : 
Les courbes d'une surface (S), pour lesquelles la section de 
(S) par le plan osculateur en un quelconque de leurs points 
est suroscîUée par un cercle, sont définies par f équation 
différentielle du second ordre : 
COS <•> 
3 "7~ 
Kds + - — -^- — (du) + rdu + r.dv) — 0. 
2 CM 
Elles sont identiques aux courtes (D) de M. Darboux, pour 
