THÉORIE DES LIGNES TRACÉES SIR UNE SURFACE. 377 
lesquelles la sphère osculatiHce est constamment tange7ite à 
la surface. 
7. Dans la note parue le 15 mars 1875 et déjà citée, Ribau- 
cour remarque que les cercles osculateurs des courbes (D) de 
M, Darboux ont quatre points communs avec la surface au 
point de contact ; cette remarque fait suite à la proposition sui- 
vante : 
Les centres de courbure géodésique relatifs à un point M 
d'une surface (S), des sections planes de (S) passant par M 
et surosculées en ce point par un cercle, forment dans le 
plan tangent de (S) en M une cotn^be du troisième degré tan- 
gente en M auœ tangentes principales de (S) et qui présente 
cette particularité que ses trois points d'inflexion sont sur 
la droite qui joint les centres de courbure géodésique des 
lignes de courbure. 
Cette proposition de Ribaucour est une conséquence immé- 
diate de la formule (5) qui conduit pour le lieu du point dont 
les coordonnées sont : 
.'• iz — p sin to . V = cos u) . 
fg ' ig 
•A la courbe définie par l'équation : 
\ ^a . 3 ;)a , , 3 :)«' 1 ^«' ^ , o / x 
A ^^' ' G ?r -^^ ' 
A ^u " 
^ ^ G?r 
où nous avons posé : 
1 / 1 a 
_ 1 
~R " 
«'=1, 
et où nous avons supposé que la surface est rapportée à ses 
lignes de courbure et que l'on a adjoint le trièdre (T) habituel. 
On trouve immédiatement pour équation de la droite qui 
joint les points d'inflexion de la cubique précédente : 
(8^ ^ _ J^ + 1 - 0. 
^ gv ^ gu 
