378 MÉMOIRES. 
8. Les cas où la cubique précédente se décompose présentent 
de l'intérêt, ainsi qu'on s'en rendra compte dans un instant; 
ils se présentent lorsque l'un au moins des axes coordonnés 
fait partie de la courbe. 
Si la surface est une enveloppe de sphères dépendant d'un 
paramètre, la cubique se décompose en une conique et en une 
droite. 
Dans le cas de la cyclide de Dupin et des surfaces dans les- 
quelles elle peut dégénérer, la cubique se décompose en trois 
droites, dont deux sont les tangentes principales et dont la 
troisième est définie par l'équation (8). 
Il y a lieu d'étudier la congruence formée, lorsque le point 
M varie, par cette troisième droite qui s'introduit dans la théo- 
rie de la cyclide de Dupin. On peut dire que, dans les différents 
cas, elle forme une congruence linéaire et qu'elle rencontre 
deux droites rectangulaires. Dans le cas du tore, par exem- 
ple, il est clair, en effet, qu'elle rencontre l'axe de la surface et 
qu'elle lui est perpendiculaire. Dans le cas de la cyclide de 
Dupin, il suffit de se reporter à la génération de cette surface 
considérée comme anallagmatique et à une propriété simple 
des cercles bitangents à une conique pour reconnaître que les 
centres de courljure géodésique des deux séries de lignes de 
courbu7^e circulaires décrivent deux droites rectangulaires . 
9. La cubique considérée dans les deux numéros précédents 
n'est autre que la trace sur le plan tangent en M à (S) de la 
surface réglée formée par les axes des cercles qui ont avec (S) 
en M un contact du troisième ordre. La surface (S) formée par 
ces cercles a été considérée pour la première fois par M. Dar- 
boux, qui a montré qu'elle est en général du dixième degré. 
Les formules établies précédemment nous conduiraient immé- 
diatement à son équation ; mais nous préférons nous attacher 
aux cas particuliers que nous allons indiquer. 
La remarque faite au commencement de ce numéro nous 
montre que (S) se décompose, quel que soit le point M choisi 
sur la suface (S), dans les cas considérés au numéro précédent. 
Si (S) admet une famille de lignes de courbure circulaires. 
