THÉOIUE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 379 
(2) se décompose en une des sphères principales et en une sur- 
face du huitième degré. 
Dans le cas où (S) est la cyclide de Dupin ou l'un de ses cas 
de dégénérescence, la surface du dixième degré se décompose 
en deux sphères et en une surface du sixième degré. 
Prenons, par exemple, le cas de la cyclide de Dupin, ce que 
nous allons dire se modifiant facilement pour les cas particu- 
liers. Nous avons -— =: et - — =r ; la surface du sixième 
degré correspondante, qui est l'inverse par rapport au point M 
d'une surface réglée du troisième degré, a une ligne double qui 
est le cercle défini par les équations : 
(9) ^ (x^ H- y' + -*) 4- 2A(a — a')x~0. 
(10) ^ {œ'- + y^ + z*) -2C{a - a')y = . 
Ce cercle jouit de la propriété que M. Darboux a démontré 
appartenir à la ligne double qui se présente dans le cas général : 
il est facile d'établir d'autres propriétés de ce cercle. 
Il coupe orthogonalement la cyclide de Dupin au point M : 
son axe situé dans le plan tangent est défini, dans ce plan, par 
l'équation i^8) ; c'est la droite déjà considérée au n<» 8 qui joint 
les centres de courbure géodésique des lignes de courbure cir- 
culaires. 
Je dis maintenant que si le point M décrit la cyclide de 
Dupin, le cercle précédent engendre un système cyclique. Pour 
le démontrer, il suffit de vérifier qu'il existe une sphère dont le 
centre se déplace sur la cyclide de Dupin, dont la corde de con- 
tact reste normale à une surface et telle que le cercle considéré 
passe constamment par les points d'intersection de cette sphère 
et de sa corde de contact. Or, la cyclide de Dupin étant rap- 
portée à ses lignes de courbure, on peut choisir, avec Bonnet, 
les paramètres t« et v de façon que l'on ait : 
R=l, R' = l: 
V u ^ 
