THÉORIE DES LIOrNES TRACÉES SUR UNE SURE ACE. 381 
formule r2o) de la page 358 du tome II des Leçons de M. Dar- 
boux. où - est remplacé par sa valeur, et en introduisant, 
comme au n*' 2. le ravon de courbure ? de la section normale 
tangente à la courbe, c'est-à-dire, dans le cas actuel, le rayon 
de la sphère osculatrice, prend la forme suivante : 
dp 1 
Considérons, tout le long d'une courbe (D), la fonction N de 
Laguerre définie par la formule (2); l'équation précédente 
s'écrit : 
dlogN^dlogf^. 
Les courbes (D) jouissent donc de la propriété exprimée par 
la relation suivante : 
(11) X = a5 . 
OÙ X désigne une quantité qui reste constante quand on se 
déplace le long d'une des courbes considérées et qui est analo- 
gue à la relation (1) de Laguerre relative aux géodésiques et 
aux lignes de courbure. 
Reportons-nous à la fin du n" 4; la proposition analogue aux 
théorèmes qui y sont énoncés et que l'on obtient en appliquant 
la relation (^^11) aux quadriques ne diffère pas essentiellement 
de la remarque de M. Enneper dont il a été question au n» 1. 
On peut dire aussi que, dans le cas des quadriques, l'équa- 
tion (11), qui est une intégrale première du problème de la 
recherche des courbes < D i, donne le lieu des centres des sphères 
osculatrices pour les différentes courbes (Di tracées sur la 
surface. 
11. L'équation différentielle (6) est du second ordre; elle n'a 
été intégrée jusqu'ici que dans le cas des quadriques et dans 
celui des cyclides. Il y a donc intérêt à constituer une méthode 
permettant de déterminer de nouveaux cas où l'intégration de 
l'équation (6) puisse être, sinon effectuée, du moins réduite à 
celle d'une équation du premier ordre. 
