THÉORIE DES LIGNES TRACEES SUR UNE SURFACE. 385 
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remplaçant cos =,, sm o respectivement par -r ^ j; . on retom- 
bera sur l'intégrale des Leçons de M. Darboux. homogène par 
rapport k p ^i q. 
Dans ces conditions, nous pourrons dire de la fonction f ho- 
mogène et de degré m par rapport à cos <p, sin s. que c'est une 
intégrale homogène de degré m. 
14. On peut rattacher aux considérations des numéros pré- 
cédents la question intéressante des géodésiques accouplées, 
dont Ribaucour indique l'origine et la solution aux pages 25 
et 2t) de la Notice sur ses travauœ mathématiques. 
Ribaucour remarque que depuis Liouville et Bour les recher- 
ches sur les géodésiques ont eu surtout pour résultat de défi- 
nir, par leur ds^^ certaines surfaces sur lesquelles on peut 
déterminer les géodésiques: mais, dans la plupart des cas, il 
reste encore à déterminer, pour chaque ds^ obtenu, au moins 
une surface correspondante. C'est cette préoccupation de déter- 
miner effectivement des surfaces pour lesquelles on puisse 
trouver les géodésiques qui a conduit Ribaucour à la notion 
des géodésiques accouplées; malheureusement, on n'obtient 
pas ainsi de résultats nouveaux, car les seules surfaces obte- 
nues sont les surfaces de révolution et les quadriques. 
Si l'on cherche à déterminer une famille de géodésiques par 
léquation différentielle du premier ordre 
(.16) çzz/'(o), w, V), 
où /■(o), II. V ) désigne une fonction donnée de w, ic, v et où ç 
est une fonction de u, v à déterminer, on trouve, soit en répé- 
tant le raisonnement du n" 11. soit en effectuant sur l'équa- 
tion 1 14) le changement d'inconnue, que Z est définie par l'équa- 
tion aux dérivées partielles que l'on obtient en éliminant w 
entre (16) et la relation suivante 
c 
9« SÉRIE. — TOME vil. 25 
sin u) 
= 0. 
