386 MÉMOIRES. 
Supposons que la surface étant rapportée à ses lignes de 
courbure, on prenne, avec Ribaucour : 
/"(w, u,, v) :=z a cos^ w -\- a' sin^ w, 
où a et «' désignent les inverses des rayons de courbure prin- 
cipaux R et R' ; l'inconnue ç, qui n'est alors autre que la cour- 
bure normale, est définie par l'équation que l'on obtient en éli- 
minant w entre les relations : 
\A 
sin^ 0) cos^ 0) 
ç ~ «ï "~ K — a' 
(l — a) (t — a) — 
+ 
k.\~-^u a! — a 
\ 
2r, ' 
+ -^ (? — «)( cosw-F 
G L 
Tiv a' — a 
2r } 
—{'C — a')[ sinw = 0. 
L'élimination de w introduit, on le voit, au radical. Si l'on 
suppose connue une solution de l'équation en ç, il lui corres- 
pond en général, par la résolution des équations précédentes, 
une seule géodésique passant par un point donné de la surface. 
On est alors amené à se demander s'il existe des valeurs de ç 
pour lesquelles les coefficients de cos w et de sin w, dans la 
dernière équation écrite, sont nuls; elles sont définies par un 
système de deux équations aux dérivées partielles, que l'on 
peut écrire, en tenant compte des équations de Godazzi : 
(«' _ «) il + 3 (î; _ a') llf _ (i; ._ û^) £iL - , 
et qui ne pourront être vérifiées simultanément, par une même 
fonction Ç, que pour certaines surfaces particulières. 
A une pareille valeur de ^ correspondront deux géodésiques 
