THÉORIE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 387 
passant par un point donné de la surface et également inclinées 
sur les lignes de courbure de la surface passant par ce point. 
Ribaucour dit que ces deux géodésiques sont accouplées. 
Le cas évidemment le plus intéressant est celui où les deux 
équations {IS) ont une solution commune dépendant d'une 
constante arbitraire ; car la connaissance de cette solution qui 
vérifie l'équation générale en ç permettra, par l'application des 
résultats connus, de trouver immédiatement toutes les géodé- 
siques. 
Ribaucour a énoncé, sans démonstration *, que si toutes les 
géodésiques d'une surface peuvent s'accoupler, cette surface 
est de révolution ou du second degré. 
Nous avons cherché à ramener cette proposition aux résul- 
tats connus sur les géodésiques, et on y parvient, en,efifet, aisé- 
ment de la façon suivante. 
Les équations (18) étant linéaires, leur intégrale, dans le cas 
où nous nous plaçons, est définie par une équation de la forme : 
Xç + (JL zz constante, 
où X et [>. sont deux fonctions connues de u et r. 8i Ion a égard 
à la valeur de Ç, on voit (fue le problème des géodésiques admet 
une intégrale homogène entière qui est au plus du second degré: 
on en conclut aisément que le réseau des lignes de courbure de 
la surface conduit pour le ds^ à la forme de Liouville ou à un 
cas particulier de cette forme. Donc, en vertu du théorème bien 
connu de Bonnet, la surface ne peut être qu'une surface de 
révolution ou quune quadrique. D'ailleurs, comme on sait, on 
obtient ainsi des solutions de la question. 
15. Les considérations développées dans les numéros précé- 
dents ont cet intérêt qu'elles s'appliquent à d'autres problèmes 
que celui des géodésiques. 
Considérons en particulier l'équation différentielle (6) des 
courbes (D). En répétant le raisonnement du n« 11, on voit que, 
A. Ribaucour, Xotice sur ses li-uvaua: ma thétna tiques, p. 26. 
