THÉORIE DES LIGNES TRACÉES SLR UXE SURFACK. 389 
m et n désignant deux fonctions de u et r; il nous faut écrire 
que si l'on élimine — , — entre réquation (19) et les deux 
relations obtenues en diflférentiant la relation f :=z constante, 
on obtient une identité. 
On voit ainsi que m et n n'étant pas nuls tous deux, il faut 
que l'une au moins des quantités ^ , ^ soit nulle, c'est- 
à-dire que les lignes de courbure de la surface soient, au moins 
pour une famille, circulaires. 
Si nous considérons d'abord le cas de la cyclide de Dupin et 
des surfaces dans lesquelles elle dégénère, on a alors une infi- 
nité d'intégrales du premier degré. Les équations définissant 
m et n étant 
5^-"- 5ÏÏ- ' Â5^."^c57— ' 
on voit que si l'on considère la cyclide de Dupin. par exemple, 
et si l'on adopte pour cette surface les formules déjà employées 
au n» 9, m et n sont des fonctions ne dépendant respectivement 
que de v et de w et définies par les formules 
'dv rdu 
m 
/dv rdu 
Supposons maintenant que l'une seulement des deux quan- 
tités ^ . ^^ — soit nulle: soit, par exemple. ^ — ziO. ce qui 
revient à dire que les lignes de courbure {u) sont circulaires. 
Les équations définissant m et n sont : 
Nous devons donc chercher les surfaces pour lesquelles, les 
lignes de courbure (u) étant circulaires, l'expression 
1 M 
a' — a ?M 
