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ne dépend pas de v, or, cette dernière condition, en tenant 
compte de la première — = 0, revient à dire que les lignes 
de courbure {v) sont des cercles géodésiques. D'autre part, on 
sait (Darboux, Leçons, t. III, p. 122) que les seules surfaces 
dont toutes les lignes de courbure aient leur courbure géodési- 
que constante sont les surfaces de révolution, les cônes, les 
cylindres et les transformées de ces surfaces par inversion. On 
peut donc énoncer la proposition suivante : 
Les surfaces pour lesquelles le problème de la recherche 
des courbes (D) admet une intégrale homogène entière du 
'premier degré sont celles pour lesquelles toutes les lignes de 
courbure ont leur courbure géodésique constante; dans le 
cas du tore et de la cyclide de Dupin, on a une infinité de 
pareilles intégrales, et cette propriété caractérise ces deux 
surfaces. 
Il est d'ailleurs facile de voir que l'intégrale du premier 
degré conduit, pour les surfaces figurant dans l'énoncé précé- 
dent, à la détermination au moyen de quadratures de courbes 
(D) dépendant de deux constantes arbitraires. 
17. Sans insister sur le point, facile à traiter, de savoir si 
nous obtenons ainsi toutes les courbes (D) tracées sur une de 
ces surfaces, passons à la recherche des surfaces pour lesquelles 
on a une intégrale homogène entière du second degré, savoir : 
frizm cos2 & -\- 2n sin cp cos (^ -\- p sin^ ç. 
Considérons encore l'identité obtenue en éliminant — , — 
7)u ?î? 
entre l'équation (19) et les deux relations provenant de la diflfé- 
rentiation de /"zz constante. 
Si la fonction n n'est pas nulle, on trouve que la surface est 
une cyclide de Dupin ou un de ses cas de dégénérescence ; ces 
surfaces devaient effectivement se présenter d'après les résul- 
tats du numéro précédent. 
Supposons que la fonction n soit nulle: le système d'équa- 
tions déterminant w, p est le suivant : 
