THÉORIE DES UGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 391 
(20) p^(m-p) + 3(«'-«)^ = 0. 
Il reste à déterminer les surfaces pour lesquelles ces équa- 
tions sont vérifiées par des fonctions m et p dont aucune ne se 
réduit à une constante, sinon l'intégrale considérée reviendrait 
à une intégrale du premier degré. 
n serait facile de montrer que ces surfaces sont encore iso- 
thermiques; nous nous contenterons d'établir que les quadri- 
ques et les cyclides générales satisfont à la question ; nous rat- 
tacherons la démonstration de ce point aux recherches de 
Ribaucour sur les surfaces pour lesquelles les courbes (D) sont 
accouplées. 
18. Nous pouvons, en imitant ce qui a été fait au n® 14, 
chercher à déterminer une famille de courbes (D) par l'équation 
Ç = /"(w. M, v) , 
où /"((i), w, v) désigne une fonction donnée de o), w, t? et où 2; est 
une fonction de u, v à déterminer. 
Prenons encore, avec Ribaucour, pour /"(w, m, v) la courbure 
normale, c'est-à-dire, dans le cas actuel, l'inverse du rayon de 
la sphère osculatrice ; l'inconnue ç sera alors définie par l'équa- 
tion que l'on obtient en éliminant w entre les relations : 
sin* 0) cos'' 0) 
r, — a ~""~C — a' 
to/ / N ''Ç . o/v i\ ^^ /w X ^«'1 sin w 
