THÉORIE Dr<:S LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 393 
courbes ( D) accouplées. Cette dernière proposition a été établie 
par Ribaucour d'une façon bien simple. Les équations (21) 
étant linéaires, il en résulte que s'il existe sur une surface plus 
d'un système de deux familles de courbes tD) accouplées, il en 
existera une infinité, et l'intégrale générale de ces équations (21) 
renfermera alors une constante arbitraire. Si l'on remarque 
que toute sphère bitangente aux surface» considérées les coupe 
suivant (^eux cercles dont elle peut être considérée comme une 
sphère osculatrice, il est facile de voir que la proposition con- 
sidérée en résulte presque immédiatement. 
La formule (22j définit, en somme, si Ton a égard à la signi- 
fication géométrique de ç, le lieu des centres des sphères oscu- 
latrices aux courbes (D) accouplées ; dans le cas d'une cyclide, 
on obtiendra les surfaces lieux des centres des sphères bitan- 
gentes en donnant à la constante qui figure dans le second 
membre de (22) des valeurs convenables. Ribaucour a remarqué 
qu'on en déduit le théorème bien connu relatif à la constance 
du rapport anharmonique de quatre des points d'intersection 
de la normale à une cyclide avec quatre des déférentes, 
20. Remarquons enfin que pour toute surfafce admettant 
l'intégrale du second degré w cos^ç -f p sin^ s, on aura des 
courbes (D) dépendant de deux constantes arbitraires par l'in- 
tégration de l'équation différentielle 
m cos* (.) + 2^ sin* u) := ^ , 
où w désigne l'angle d'une courbe intégrale avec la courbe (r) 
et A une constante arbitraire. L'équation précédente s'écrit 
T-\ r = 0, 
p — k m — 1: 
en introduisant les variables u et v ; p est une fonction de v et 
m est une fonction de u\ d'autre part, le réseau {u, v) est iso- 
therme. L'intégration de l'équation précédente s'effectue donc 
au moyen de quadratures. 
