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suite, les coordonnées ^j, ?/, -s^i du point de la trajectoire cher- 
chée, correspondant au point (^, î/, z) de la directrice, seraient 
déterminées par les équations 
â?! — X a i/i — y h 
l Ya^ + ?''+! ' ^ Va'' + &2 -j- 1 ' 
^ ~ /a2 + &2 + 1 ■ 
Il ne resterait plus, pour obtenir les équations de la trajectoire, 
qu'à éliminer t entre les trois précédentes. D'ailleurs les diver- 
ses trajectoires se distingueront les unes des autres par la 
valeur de la constante arbitraire qui accompagnera l'expression 
de l. 
5. Le cas des trajectoires orthogonales n'offre pas de diffi- 
culté, car on a alors cot œ = 0, et la formule (1) devient 
dl:zz — cos i ds , d'où l :=: — f cos i ds. 
Si, en outre, les génératrices étaient normales à la courbe direc- 
trice, on aurait ^■ = ^ , par suite dl z:z 0, l :=: const. Il en ré- 
suite que la portion d'une génératrice quelconque comprise 
entre une trajectoire orthogonale et la directrice est une lon- 
gueur constante, ce à quoi on parvient d'ailleurs par le théo- 
rème connu de Gauss, en observant que la génératrice rectili- 
gne est une ligne géodésique de la surface. 
6. L'équation (1) serait intégrable si, dans l'expression de S 
donnée par la formule (2), la quantité sous le radical était un 
carré parfait ; mais on a alors une surface développabie. En 
effet, la supposition dont il s'agit s'exprime par la relation 
[da* + db^ + {adb — hdaf] 
X[{dx — adzf -f- {dy — bdzf -f- {ady — bdxY] 
zn [da {dœ — adz)-\- db{dy — bdz) ■\-{adb — b da) {ady — b dx)f^ 
laquelle devient, toutes réductions effectuées, 
(1 + a» 4- b^)[dady — dbdx + {adb — bda)dz]^ zz 0, 
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