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en sorte que l'équation (1) devient 
fil — iml + n) cot ç + ^^^ i ds zz 0. 
On voit que c'est une équation différentielle linéaire du pre- 
mier ordre, et en l'intégrant on déterminerait l par des quadra- 
tures. Les équations des trajectoires s'obtiendraient donc aussi 
sous la même forme. 
7. Comme application, nous allons considérer une classe 
remarquable de surfaces gauches pour lesquelles l'équation 
différentielle (1) est intégrable, 
La surface gauche est déterminée quand on se donne cinq 
fonctions du paramètre variable t^ savoir : œ. y, ^, a, &. Les 
trois premières, en effet, conduisent aux équations de la direc- 
trice, et les deux dernières servent à régler le mouvement de 
la génératrice, comme déterminant sa direction dans chacune 
de ses positions. En laissant a eid arbitraires, nous allons les 
lier à œ^ ?/, z par trois conditions qui donneront les valeurs de 
ces trois coordonnées. 
P osons d'abord la codition 
(3) a (lœ -]- bdy + dz — , 
d'où dzzz — adœ — bdy-, elle exprime évidemment que la 
génératrice est normale à la directrice. 
Posons, en second lieu, la relation 
(4) Ozzida {dœ — adz) -\- db (dy— b dz) + (« db — b da){ady— bdœ), 
qui exprime que le coefficient de l sous le radical de la for- 
mule (2) est nul. Elle devient, en remplaçant dz par sa valeur, 
= da [(1 4- a^) dœ + ab dy] -\-db[{\-\- b-) dy -f abdx] 
-^-iadb — bda) {ady — bdœ) 
— dœ[{\ + a^)da + abdb — b{adb — bda)] 
4- dy[{^ + b'^)db -f abda + a{adb — bda)\ 
■ ■=zdœ{\ -f a^ -t- b^) da -\- dy (1 + «" + y") dO. 
