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Ainsi l'élément ds de la directrice compris entre ces deux 
points est la plus courte distance des deux génératrices; en 
d'autres termes, le point (â?, ?/, z) est le point central corres- 
pondant à la génératrice qui y passe. Donc la courbe directrice 
est la ligne de striction de la surface gauche, en même temps 
qu'elle est une trajectoire orthogonale des génératrices. 
12. Nous allons, au reste, démontrer directement que la 
ligne de striction coïncide avec la directrice en cherchant les 
coordonnées du point central correspondant à une génératrice 
quelconque. 
Appelons X, Y, Z les coordonnées du point central situé sur 
la génératrice dont les équations sont 
œ' -i^ az' -{- p ^ y' :=z Jjz' + Q -. 
et qui passe au point {œ^ î/, z) de la directrice. D'après une for- 
mule connue, on a 
dp[b{adb — h da) — da] — dq [a {adb — & da) -\- dh] 
~~ da^ + db^ -\-{adb — bdaf * 
Or, les équations x-zzaz -{- p^ y z^bz -{- q donnent, après y 
avoir porté les valeurs de a?, i/, sr, 
/ao naao — oaa 
n da I 1 h r^^^ — ^^^ 
d'où 
kdb ka{adb — bda) f adb — bda 
^^-«2 + ^2+1+ a-^+b^ + l ^'''^V a^ + b^ + l" 
hda hb {adb — bda) r a db — bda 
^«-- «2+^,2+1 + a^j^b'^-fT +'''^^y a»+&»-hi • 
Au moyen des expressions de dp et rfg-, on trouve, toutes 
réductions effectuées, 
