SUR LES SYMBOLES D OPERATIONS. 
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Réciproquement, à toute substitution telle que J, à coeffi- 
cients entiers pris suivant le module c>, et à déterminant incon- 
gru à zéro (mod vi), correspond un isomorphisme du groupe 
(^viY ^" lui-même. 
Ces substitutions forment un groupe qui n'est autre chose 
que le groupe des isomorphismes cherché. On sait que l'ordre 
de ce groupe est 
(ïr>« — 1) (d» — x;i) ft1« — Tf>^) ... (vi" — T.1—J)*. 
Celles de ces substitutions pour lesquelles le déterminant est 
congru à 1 (mod iri) forment un sous-groupe invariant du groupe 
total. Le groupe des isomorphismes ne peut être simple que si 
1^ = 2. 
Je citerai, comme exemple, le groupe des isomorphismes de 
(Ga)'. Il est d'ordre 168. Posons 
On a 
B=\ œ,y,z 
A' = B2 = 1 , 
2/, X, z \ 
(A«B)» " 1 . ( A*B)* = 1 
On retrouve ainsi un groupe simple bien connu". 
On peut se demander s'il existe des opérations du groupe 
(Gr^y telles qu'à chacune d'elles J fasse correspondre l'une 
de ses puissances. La solution de cette question revient à la 
résolution des congruences simultanées 
S* (ciijXi) = sxj^ (mod d) , 0" == 1. 2. ... n) , 
où s est un nombre entier, racine de la congruence 
A (s) 
«Il — s 
ï|2 
Ctln 
a2n 
!Xm1 
O-nt 
3.nn S 
(mod ^) 
* Jordan, Traité des substitutions, p. 97. 
** V. Otto Holder, Mathematische Annalen, t. XLVI, 1895, p. 321. 
Dyck, Mathematische Annalen, t. XX, pp. 40 et 41. 
