SUR LES SYMBOLES d'oPÉRATIONS. , 251 
Si on introduit les opérations h exposants imaginaires de 
Galois, les équations qui définissent le groupe peuvent s'écrire 
Les substitutions du groupe régulier correspondant sont 
toutes comprises dans la formule 
/" 7/? — I I 
Enfin, les isomorphismes cogrédients sont de la forme 
T _ /«^ '^ \ /a= 1, /, 1 + A 
"'^ ~\a«, a^l)) Vs=0, 1, z, l + eV ' 
4. Deuxième application. — Si l'on veut énumérer les grou- 
pes d'ordre p^q^ p étant un nombre premier plus grand que le 
nombre premier ^, on voit immédiatement qu'il y aura un 
sous-groupe invariant d'ordre p^. 
Prenons le cas où le sous-groupe distingué r est le groupe 
Soient a et b deux opérations échangeables d'ordre p , 
c une opération d'ordre q. 
L'opération c étant échangeable au groupe J a, & | , il lui 
correspondra l'isomorphisme 
C—\x,y Xœ -{- prj , [lœ -^ Gy \ 
qui devra être d'ordre q. 
Soit 
(1) s2_(X-|_a)s-}-Xa — (xp = o (modi?) 
la congruence caractéristique de cet isomorphisme. 
Gomme on aura a^b^ c z= c{a=' b»)*, on voit que si la con- 
gruence (1) admet des solutions, ce seront des racines de la 
congruence s* = 1 (mod p). 
