252 MÉMOIRES. 
Soit m le nombre des sous-groupes d'ordre ^ du groupe 
J a. h \ auxquels c est échangeable; n le nombre des ensem- 
bles de q_ sous-groupes d'ordre p tels que c transforme les uns 
dans les autres les sous-groupes de l'un quelconque de ces 
ensembles 
On a m(i? — 1) -h ng(^ — 1) iz:^2_ 1 
ou m + n^' =1 ^ + 1 . 
Si c n'est échangeable à aucun des sous-groupes d'ordre p 
de I a, & I , c'est-à-dire si Ton suppose que le premier mem- 
bre de la congruence (1) est irréductible, (mod ^), on a m =: 0, 
nqzn'p -\-\\ donc, q divise p-\-l. Nous envisagerons en par- 
ticulier le cas où la congruence (1) est irréductible. 
On peut alors choisir les deux opérations a et 6 de façon que 
b soit la transformée de a par c. La substitution G devient 
G = \œ,îj py, x + ay \ . 
Il est facile de voir qu'on peut supposer q impair. 
Alors le déterminant de G^ étant ( — p)«, comme on a 
G« m 1 , il en résulte ( — p)? = 1 (mod p). 
Mais q est impair et divise i? + 1 , de plus il est premier. 
Donc, il ne divise pas p — 1. Donc, on a nécessairement 
p = — 1. (mod;?). 
Alors G — I â7, 1/ — y,œ + Qy\ . 
On peut poser, d'une façon générale, 
G» = I 57, 1/ — â7cp«_2(ci) — î/<?«-i(a) , ircp„_i(a) -I- yon{Q) I 
et l'on a ?«+i(<^) ^^ c:<pn(cr) — <pn-i((î) 
avec <p-i(«^) = , ?o(<^!) = 1 •> 
relation d'où l'on déduit facilement la suivante : 
<Pn^(<î) — (f„_i(c)9n+l(cr) r^ 1 . 
