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considérés. On peut l'établir géométriquement comme il suit^ 
Soit un point quelconque d'une courbe arbitraire (0), 
et M le point correspondant à sur la courbe polaire réci- 
proque (M) de (0) par rapport à une sphère de centre G 
et de rayon R . On sait que les tangentes en et M aux deux 
courbes (0) et (M) sont des droites conjuguées par rapport 
à la sphère directrice, et que le plan osculateur en un point 
de l'une des courbes est le plan polaire du point correspon- 
dant de l'autre, en sorte que la droite GO est parallèle à la 
bi-normale de (M) en M , de même que GM est parallèle à la 
bi-normale de (0) en . 
Du point G , abaissons la perpendiculaire GP sur le plan 
osculateur de (0) en 0, et la perpendiculaire GQ sur la tan- 
gente à cette courbe au même point. Le point M de (M) qui 
correspond cà de (0) est situé sur GP , de manière que 
GM X GP = R2 , 
et la tangente en M à (M) est la perpendiculaire MS sur la 
droite GQ , perpendiculaire elle-même à la tangente OQ de (0) 
en O . 
Soit maintenant O' un point de (0) infiniment voisin de O , 
et M' le point de (M) qui correspond à 0'; ds et ds' les élé- 
ments linéaires des deux courbes en ces points. Gonsidérons le 
triangle infinitésimal OGO' , dans lequel l'angle OGO' est l'an- 
gle des plans osculateurs infiniment voisins en M et M' de la 
ds' 
courbe (M) et a, par suite, pour valeur 7=7 . L'aire de ce trian- 
gle peut être évaluée de deux manières, ce qui donne : 
0G2 '-^ — ds. CQ. 
De même, la considération du triangle infinitésimal MGM' 
conduit à la relation 
mC-^ — ds'.GS. 
En multipliant membre à membre les deux égalités précé- 
dentes, on obtient celle-ci : 
1. Le leclenr est prié do faiz-e la figure. 
n 
