SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1897. 41 
(,, 9^^:^C0.CS 
Or, 
CQ . es = R^ 
puisque les tangentes OQ et MS sont conjuguées par rapport à 
la sphère. D'autre part, 
(S) oc . MC =z -^ . CM = . 
^ ^ COS a COS a 
Par la substitution de ces valeurs, l'égalité (2) se transforme 
immédiatement dans celle (I) qu'il s'agissait de démontrer. 
2. — On en déduit quelques conséquences intéressantes. Si, 
pour une courbe (O), l'angle désigné par a est constant, il en 
est de même du produit TT'. Ainsi : Lorsqu'une courbe (0) 
tracée sur la surface d'un cône est telle que les génératrices de 
ce cône coupent les plans osculateurs de la courbe sous un 
angle constant, le produit des torsions de cette courbe et de sa 
polaire réciproque par rapport à une sphère ayant pour centre 
le sommet du cône est constant en deux points correspondants 
quelconques. 
Si, de plus, la courbe (0) est à torsion constante, il en est de 
même de la courbe polaire réciproque (M.). J'ai démontré, par 
des considérations qui ne peuvent trouver place ici', qu'il 
existe une infinité simple de courbes admettant cette définition, 
c'est-à-dire de courbes dont la torsion est constante et qui ont 
pour polaires réciproques, par rapport à une sphère dont le 
centre est convenablement choisi, d'autres courbes à torsion 
constante. Ces courbes sont réelles, transcendantes, et chacune 
d'elles est semblable à sa polaire réciproque. 
3. — A la proposition démontrée au numéro 1 s'en rattache 
une autre, trouvée par M. Demoulin, et qui peut être énoncée 
comme il suit : 
Le produit des rayons de courbure principaux, en deux 
points correspondants quelconques, de deux surfaces polaires 
réciproques par rapport à une sphère donnée, est inversement 
1. Le mémoire complet sera publié plus tard. 
