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proportionnel à la quatrième puissance du cosinus de l'angle 
formé par les plants tangents aux deux surfaces en ces points, 
en sorte que l'on a : 
(3) Ri . R2 X R/ . R2' = (-^Y , 
\cos a/ 
R désignant toujours le rayon de la sphère, Ri, Rj, R/, Rj' les 
rayons de courbure principaux des deux surfaces aux points 
correspondants considérés, et a l'angle formé par les plans tan- 
gents aux surfaces en ces mêmes points. 
Gela résulte, d'une part, de ce que les lignes asymptotiques 
qui se coupent en un point d'une surface ont une même tor- 
sion égale à y — PuR2 et, d'autre part, de ce que, dans la pola- 
rité réciproque, les lignes asymptotiques se correspondent. La 
relation (3) est, par suite, une conséquence immédiate du théo- 
rème démontré en premier lieu. 
4. — On peut remarquer que l'angle a formé par les plans 
tangents aux deux surfaces est égal à l'angle formé par les 
droites joignant le centre de la sphère aux points de contact de 
ces plans, puisque ces droites sont perpendiculaires aux plans 
tangents. L'angle a est donc le complément de l'angle que 
forme le plan tangent à l'une des surfaces avec la droite joi- 
gnant son point de contact au centre de la sphère. 
Il en résulte que si l'une des surfaces coupe, sous un angle 
constant, les rayons vecteurs issus d'un point fixe, le produit, 
en deux points correspondants quelconques, des rayons de 
courbure principaux de cette surface et de sa polaire réciproque, 
par rapport à une sphère ayant pour centre le point fixe, est 
une quantité constante. 
5. — Il est aisé de donner le mode de génération des surfaces 
qui possèdent, dans l'espace, une propriété analogue à celle de 
la spirale logarithmique dans le plan, c'est-à-dire qui coupent 
les rayons vecteurs issus d'un point fixe sous un angle cons- 
tant 6 . 
En prenant le point fixe pour origine d'un système d'axes 
tri-rectangulaires, on trouve que ces surfaces sont définies par 
l'équation aux dérivées partielles du premier ordre 
