SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1897. 43 
(4) {z—px — qyf — &mH iœ'- + y^ -\- z^) (1 + i?^ + q^) 
dont rintégration peut être réalisée géométriquement ^ 
On obtient d'abord une intégrale complète au moyen de la 
surface de révolution engejidrée par la spirale logarithmique 
ayant pour équation 
p zz: ae"*"', (m •= cot 6) , 
tournant autour d'une droite de son plan passant pur le pôle. 
L'équation de cette surface est : 
(5) p zz Ae"»? , 
où l'on a posé, pour abréger, 
p=:Yx^ + y^ + z^, 
et dans laquelle l'angle ç est lié à l'angle [i. que fait l'axe de 
rotation avec l'axe polaire par la relation 
,^, œ cos \i -h 2/ sin [j. 
(6) cos <p zr ■ — '—^ . 
P 
Cette surface S est bien une intégrale complète puisqu'elle 
satisfait aux conditions du problème et que son équation con- 
tient deux constantes A et [j.. On en déduira l'intégrale 
générale, c'est-à-dire la surface la plus générale répondant à 
l'équation différentielle (4), en appliquant la règle connue. On 
fera donc : 
(7) AizAl^), 
f désignant une fonction arbitraire, et l'on éliminera jx entre 
l'équation (5) de la surface et l'équation dérivée par rapport à 
\). , laquelle devient : 
en écrivant f et f k la place de /'(jx) et de f{\i.). 
Comme on sait, les caractéristiques sont représentées par 
l'équation (5) jointe à la suivante : 
(9) z zz K{y cos \). — x sin (x) , 
1. Voir l'ouvrage de M. Goursat : Leçons sur l'intégration des 
équations aux dérivées partielles du premier ordre, chapitre ix. 
