84 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
dX (la. , dXi , ^ 
, dy ^ d& , dVi ^ , ^ 
dz dy , dz, , ^ 
Je considère simplement, dans les formules (9), les équations 
de la première ligne : 
,,^. dœ doL ^ „ dXi , ^ 
(10) -— = a, — — — X — X^ig^, — — = atgÔ. 
ds ds ds 
Posons 
i u — X + iXi , V = 1 + z tg 6 , 
\ Ua^zx — iXi^ Vo — 1 — z tg ô. 
Alors on a : 
du ,^ dUo ^j _. dix. 
d7 = "^' ^ = "^»' 2- = -«V,-«,V. 
Soit vzrz y -\- ipi., w^z z -\- iZi ; u^v.,w sont des solutions 
de l'équation difïérentielle 
^_S — — 
, ds^ V ds'^ 
^ ^ ^ VV V'V 
+ (3|. + VV.-X,)-0 
et l'on a 
^2 + ^2 _^ ^^2 — . 
On sait* que si Y et Z représentent deux intégrales linéaire- 
ment indépendantes de l'équation 
l'équation (12) admettra les intégrales 
(14) w = YZ, 'yz=^(Y2 + Z2), i^ = i (Y^ — Z^) . 
* Voir E. Goursat, Sur un problème relatif aux courbes à double 
courbure {Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, t. I, 
année 1887 (C, 20). 
