SÉANCE DU 17 FÉVRIER 1898. 87 
Réciproquement, supposons Y et Z liés par une relation algé- 
brique. 
A cause des équations (14) deux quelconques des trois quan- 
tités w, V, w seront liées par une relation algébrique, et il en 
sera de même par conséquent de deux quelconques des quan- 
tités ^*^,, i?o, Wq. 
D'ailleurs, à cause de la relation (15), YY^-j-ZZo =:: 2, on 
peut affirmer que u^ et u^ ou v^ et f , ou w^ et w sont liées par 
des relations algébriques; par suite, enfin, y et z seront des 
fonctions algébriques de ce. 
Ainsi, pour que la courbe (G) soit algéWîque, il faut et il 
suffit que Y et Z soient liées par une relation algébrique. 
Le raisonnement s'applique à toute courbe sphérique algé- 
brique, car on peut le faire sur l'équation (17), puisqu'on ne 
tient pas compte de l'hypothèse t =z constante. 
4. Cela posé, supposons que les deux intégrales Y et Z de 
l'équation (17) soient liées par une relation algébrique de la 
forme 
AY2 + 2BYZ + CZ2 = 1 , 
on doit avoir, en posant 
d L(Ta)) , t' 
a=: e — ■ , b^n 
rfw ' 4a)(l — 0))' 
d(à 
On en déduit aisément t = Ce* , G étant une constante. 
La courbe correspondante est imaginaire. 
Supposons encore que Y et Z soient liées par une relation 
algébrique du troisième degré. On a 
Qa^b — db^ — 2b 5a 1 = . 
On trouverait une équation différentielle du second ordre 
définissant t en fonction de w. 
' Voir le mémoire de M. Appel Sur les équations différentielles 
linéaires {Annales de l'École normale, t. IV, 1875). 
